Hàm số \(g\left( x \right) = \cos x + {{{x^2}} \over {2 }}-1\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và có đạo hàm \(g'\left( x \right) = x - \sin x\)

Theo câu a) \(g'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x>0\) nên hàm số g đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\), khi đó ta có

\(g\left( x \right) > g\left( 0 \right) = 0\) với mọi \(x>0\), tức là \(\cos x + {{{x^2}} \over 2} - 1 > 0\) với mọi \(x>0\)

hay \(\cos x > 1 - {{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x>0\) (1)

Với mọi x < 0 thì -x > 0 nên theo (1) ta có:

\(\cos \left( { - x} \right) > 1 - {{{{\left( { - x} \right)}^2}} \over 2}\)

\(\Leftrightarrow \cos x > 1 - \,{{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x < 0\)

Vậy \(\cos x > 1 - \,{{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x \ne 0\).

Cách khác:

g’(x) = x – sin x

g'(x)=0 \(\Leftrightarrow\) x- sin x = 0

⇔ x = 0

Theo câu a ta có bảng biến thiên:

Từ bbt ta thấy \(g\left( x \right) > 0,\forall x \ne 0 \) \(\Leftrightarrow \cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2},\forall x \ne 0\)

LG c

\(\sin x > x - {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x > 0\); \(\sin x < x - {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x<0\).

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(h\left( x \right) = \sin x - x + {{{x^3}} \over 6}\) có đạo hàm \(h'(x) = \cos x - 1 + {{{x^2}} \over 2} > 0\) với mọi \(x \ne 0\) (câu b)

Do đó \(h\) đồng biến trên \(\mathbb R\) nên ta có:

\(h\left( x \right) > h\left( 0 \right) = 0,\forall x > 0\) và \(h\left( x \right) < h\left( 0 \right) = 0,\forall x < 0\)

Từ đó suy ra: \(\sin x > x - {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x>0\)

\(\sin x < x - {{{x^3}} \over 6}\)với mọi \(x<0\)

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Bài 2. Cực trị của hàm số

Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 4. Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ

Bài 5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024