5. Đề số 5 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Câu 1. (2,5 điểm)

1. Thực hiện phép tính $$

2. Rút gọn biểu thức $$  với $$  và $$

3. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số $$  đi qua hai điểm  $$ và $$

Câu 2. (1.5 điểm)

1. Giải phương trình $$

2. Tìm giá trị của m để phương trình $$ có hai nghiệm $$ thỏa mãn $$

Câu 3. (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một xe ô tô đi từ A đến B theo đường quốc lộ cũ dài 156 km với vận tốc không đổi. Khi từ B về A, xe đi đường cao tốc mới nên quãng đường giảm được 36 km so với lúc đi và vận tốc tăng so với lúc đi là 32 km/h. Tính vận tốc ô tô khi đi từ A đến B, biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 1 giờ 45 phút.

Câu 4. (3,5 điểm)

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên đường tròn (O) lấy điểm C bất kì (C không trùng với A và B). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt tia BC ở điểm D. Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng DO. Tia AH cắt đường tròn (O) tại điểm F (không trùng với A). Chứng minh

a) $$

b) Tứ giác AHCD nội tiếp.

c) $$

d) $$

Câu 5 (0,5 điểm)

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn $$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$

Lời giải chi tiết

Câu 1.

1. Thực hiện phép tính $$

2. Rút gọn biểu thức $$  với $$  và $$

Điều kiện: $$

3. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số $$  đi qua hai điểm  $$ và $$

Đồ thị hàm số $$  đi qua hai điểm  $$ và $$ nên ta có hệ phương trình:

Vậy ta có $$

Câu 2.

1. Giải phương trình $$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $$

2. Tìm giá trị của m để phương trình $$ (*) có hai nghiệm $$ thỏa mãn $$

+) Phương trình có hai nghiệm $$ khi và chỉ khi $$

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (*) ta có: $$

Từ đề bài ta có: $$

Lại có $$ $$

Khi đó ta có: $$

+) TH1: $$ kết hợp với   (2) ta được:

+)TH2: $$ kết hợp với   (2) ta được:

Vậy $$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 3:

Một xe ô tô đi từ A đến B theo đường quốc lộ cũ dài 156 km với vận tốc không đổi. Khi từ B về A, xe đi đường cao tốc mới nên quãng đường giảm được 36 km so với lúc đi và vận tốc tăng so với lúc đi là 32 km/h. Tính vận tốc ô tô khi đi từ A đến B, biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 1 giờ 45 phút.

Gọi vận tốc của ô tô khi đi từ A đến B là $$

Thời gian ô tô đi từ A đến B là: $$ (giờ).

Quãng đường lúc về là: $$

Vận tốc của ô tô lúc về là: $$ Thời gian của ô tô lúc về là: $$ (giờ).

Đổi:  1 giờ 45 phút $$ giờ.

Theo đề bài ta có phương trình: $$

Vậy vận tốc của ô tô lúc đi từ A đến B là $$

Câu 4.

a) $$

Ta có $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) $$.

Ta có:$$ ( Do DA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD vuông tại A có đường cao AC ta có $$.

b) Tứ giác AHCD nội tiếp.

Xét tứ giác AHCD có $$ Hai đỉnh C và H kề nhau cùng nhìn cạnh AD dưới góc 90⁰

$$ Tứ giác AHCD nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

c) $$

Do tứ giác AHCD nội tiếp nên $$ (cùng bù với $$).

Xét tam giác FHC và tam giác ADC có:

$$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC).

$$;

Suy ra, tam giác FHC đồng dạng với tam giác ADC (g.g) => góc FCH bằng góc ACD (hai góc tương ứng)

Mà $$

d) $$

Xét tam giác vuông OAD vuông tại A có OH là đường cao ta  có $$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà $$

Xét tam giác OBH và ODB có:

$$ chung;

$$;

Suy ra, tam giác OBH đồng dạng với tam giác ODB (c.g.c) => góc OBH bằng góc OBD

Mà $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHCD).

$$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CF của đường tròn (O))

Xét tam giác BHF và tam giác BAC có:

$$ (góc BFC nội tiếp chắn nửa đường tròn (O));

$$;

Câu 5.

Ta có: $$

Áp dụng BĐT Cô si, ta có:  $$

$$ . Đặt $$, ta có:

$$ , $$

Ta chứng minh: $$

$$ ( do $$)

Do $$ $$

$$,$$

Vậy, $$ khi và chỉ khi $$