1. Đề số 1 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Bài 1 (1,5 điểm)

1) Rút gọn biểu thức $$

2) Rút gọn biểu thức $$ với $$

Tính giá trị của B khi $$

Bài 2 (1,5 điểm)

Cho Parabol $$ và đường thẳng $$ (m là tham số).

1) Vẽ đồ thị hàm số (P).

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Bài 3 (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình: $$

2) Cho phương trình: $$, (m là tham số)

a. Giải phương trình (1) khi m = 3.

b. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1)  có hai nghiệm phân biệt $$ sao cho biểu thức $$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 4  (1,5 điểm)

Một người dự định đi xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 90 km trong một thời gian đã định. Sau khi đi được 1 giờ, người đó nghỉ 9 phút. Do đó, để đến tỉnh B đúng hẹn, người ấy phải tăng vận tốc thêm 4 km/h. Tính vận tốc lúc đấy của người đó.

Bài 5  (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) có bán kính $$. Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại D.

1) Chứng minh tứ giác OBDC nội tiếp đường tròn.

2) Gọi M là giao điểm của BC và OD. Biết $$. Tính diện tích của tam giác BCD.

3) Kẻ đường thẳng d đi qua D và song song với đường tiếp tuyến với (O) tại A, d cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh $$

4) Chứng minh góc PAD bằng góc MAC.

Lời giải chi tiết

Bài 1.

Ta có

Thay $$ vào B ta có $$.

Vậy khi $$ thì $$

Bài 2:

1) Vẽ đồ thị hàm số $$:

Ta có bảng giá trị:

Đồ thị hàm số:

2) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: $$

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt $$

Vậy với $$ thì đường thẳng $$ cắt đồ thị hàm số $$ tại hai điểm phân biệt.

Bài 3

Ta có:

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất $$

1)  Cho phương trình: $$, ( m là tham số)

a)  Giải phương trình (1) khi m = 3.

Với m = 3 ta có (1) trở thành:

Ta có: $$

Khi đó phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt là: 

Vậy với m = 3 thì phương trình (1) có tập nghiệm là: $$

b)  Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1)  có hai nghiệm phân biệt $$ sao cho biểu thức $$ đạt giá trị nhỏ nhất.

+) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $$ khi và chỉ khi $$

+) Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình (1) ta có: $$

Ta có:

Thay Viet vào A ta được:

Ta có: $$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $$

Vậy $$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 4:

Gọi vận tốc ban đầu của người đó là $$

Thời gian dự định người đó đi hết quãn đường là: $$

Quãng đường người đó đi được sau 1 giờ là: $$

Quãng đường còn lại người đó phải tăng tốc là: $$

Vận tốc của người đó sau khi tăng tốc là: $$ thời gian người đó đi hết quãng đường còn lại là: $$

Theo đề bài ta có phương trình:

Vậy vận tốc lúc đầu của người đó là $$

Bài 5.

1) Chứng minh tứ giác OBDC nội tiếp đường tròn.

Do DB, DC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) $$

Xét tứ giác OBDC có  $$ $$ tứ giác OBDC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)

2) Gọi M là giao điểm của BC và OD. Biết $$. Tính diện tích của tam giác BCD.

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OBD có $$

Ta có $$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$$ thuộc trung trực của BC $$ là trung trực của BC $$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBD có:

Vậy $$$$

3) Kẻ đường thẳng d đi qua D và song song với đường tiếp tuyến với (O) tại A, d cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh $$

Ta có $$ ( 2 góc so le trong do đường thẳng Ax // PQ)

Mà $$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB của (O)).

Xét tam giác ABC và tam giác AQP có:

$$ chung;

4) Chứng minh góc PAD bằng góc MAC.

Kéo dài BD cắt D tại F.

Ta có $$ (đối đỉnh)

Mà $$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB)

$$ (do )

$$ cân tại D $$

Tương tự kéo dài DC cắt d tại G, ta chứng minh được $$ cân tại D $$

Lại có $$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) $$ là trung điểm của PQ.

Ta có: $$

Xét tam giác $$ và tam giác $$ có