Hai bạn Hòa và Bình có 100 quyển sách. Nếu Hòa cho Bình 10 quyển sách thì số quyển sách của Hòa bằng \(\dfrac{3}{2}\) số quyển sách của Bình. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu quyển sách?

Câu 2 (2 điểm):

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {3;\;7} \right)\) và song song với đường thẳng có phương trình \(y = 3x + 1.\)

a) Viết phương trình đường thẳng \(\left( d \right).\)

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và parabol \(\left( P \right):\;\;y = {x^2}.\)

Câu 3 (3 điểm):

Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định nằm ngoài (O; R). Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới (O; R) (A, B là các tiếp điểm). Đường thẳng (d) bất kỳ qua M và cắt (O; R) tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa M và D). Gọi N là giao điểm của AB và CD.

a) Chứng minh rằng tứ giác OAMB nội tiếp.

b) Chứng minh rằng \(\Delta ANC\) và \(\Delta DNB\) đồng dạng, \(\Delta AMC\) và \(\Delta DMA\) đồng dạng.

c) Chứng minh rằng:\(\dfrac{{MC}}{{MD}} = \dfrac{{NC}}{{ND}}.\)

d) Xác định vị trí của đường thẳng \(\left( d \right)\) để \(\dfrac{1}{{MD}} + \dfrac{1}{{ND}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 4 (1 điểm):

Cho \(a,\;b\) là các số thực không âm thỏa mãn \({a^{2018}} + {b^{2018}} = {a^{2020}} + {b^{2020}}.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2}.\)

Lời giải chi tiết

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1:

Biểu thức có nghĩa \( \Leftrightarrow x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2.\)

Chọn A.

Câu 2:

Theo khái niệm về hàm số bậc nhất thì chỉ có đáp án C đúng.

Chọn C.

Câu 3:

Điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) thuộc đường thẳng \(y = \left( {2m - 1} \right)x + 3 + m\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - 2 = \left( {2m - 1} \right).1 + 3 + m\\ \Leftrightarrow - 2 = 2m - 1 + 3 + m\\ \Leftrightarrow 3m = - 4\\ \Leftrightarrow m = - \dfrac{4}{3}.\end{array}\)

Chọn A.

Câu 4:

Hàm số đồng biến trên \(R \Leftrightarrow 2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}.\)

Chọn B.

Câu 5:

+) Đáp án A: Hàm số là hàm số bậc nhất có \(a = - 3 < 0 \Rightarrow \) hàm số nghịch biến trên \(R \Rightarrow \) loại đáp án A.

+) Đáp án B: Hàm số là hàm số bậc nhất có \(a = 1 > 0 \Rightarrow \) hàm số đồng biến trên \(R \Rightarrow \) loại đáp án B.

+) Đáp án C: Hàm số là hàm số bậc hai có \(a = 1 > 0 \Rightarrow \) hàm số đồng biến khi \(x > 0\) và nghịch biến khi \(x < 0 \Rightarrow \) loại đáp án C.

Chọn D.

Câu 6:

Phương trình đã cho vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' < 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} + 3 < 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - {m^2} + 3 < 0\\ \Leftrightarrow 2m < - 4\\ \Leftrightarrow m < - 2.\end{array}\)

Chọn D.

Câu 7:

+) Đáp án A: Giả sử phương trình có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2}\) thì \({x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = - \dfrac{6}{2} = - 3 \ne 3 \Rightarrow \) loại đáp án A.

+) Đáp án D: Giả sử phương trình có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2}\) thì \({x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = - 3 \ne 3 \Rightarrow \) loại đáp án D.

+) Đáp án B: Giả sử phương trình có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = S = - \dfrac{b}{a} = \dfrac{6}{2} = 3\\{x_1}{x_2} = P = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right..\)

Phương trình có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2} \Leftrightarrow {S^2} \ge 4P \Leftrightarrow {3^2} \ge 4.\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 9 \ge 2\) (luôn đúng).

\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

+) Đáp án C: Giả sử phương trình có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = S = - \dfrac{b}{a} = 3\\{x_1}{x_2} = P = \dfrac{c}{a} = 4\end{array} \right..\)

Phương trình có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2} \Leftrightarrow {S^2} \ge 4P \Leftrightarrow {3^2} \ge 4.4 \Leftrightarrow 9 \ge 16\) (vô lý).

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho vô nghiệm.

\( \Rightarrow \) Đáp án C sai.

Chọn B.

Câu 8:

Ta có: \(\cos B = \dfrac{{AB}}{{BC}}\)

Chọn A.

Câu 9:

Ta có hình vuông, hình chữ nhật và hình thang cân đều là những tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}.\)

\( \Rightarrow \) A, B, D đúng.

Chọn C.

Câu 10:

\( \Rightarrow OH = d\) và \(AH = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{6}{2} = 3cm.\) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên dây \(AB \Rightarrow OH \bot AB \Rightarrow H\) là trung điểm của \(AB.\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác \(AOH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(\begin{array}{l}O{H^2} = O{A^2} - A{H^2} = {5^2} - {3^2} = {4^2}\\ \Rightarrow d = OH = 4cm.\end{array}\)

Chọn C.

PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1:

Gọi số quyển sách của bạn Hòa là \(x\;\) (quyển sách), \(\left( {10 < x < 100,\;x \in N} \right).\)

Khi đó số quyển sách của Bình là: \(100 - x\) (quyển sách).

Số quyển sách của Hòa sau khi cho Bình \(10\) quyển sách là: \(x - 10\) (quyển sách).

Số quyển sách của Bình sau khi nhận được \(10\) quyển sách từ Hòa là: \(100 - x + 10 = 110 - x\) (quyển sách).

Theo đề bài ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\;\;\;x - 10 = \dfrac{3}{2}\left( {110 - x} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 20 = 330 - 3x\\ \Leftrightarrow 5x = 350\\ \Leftrightarrow x = 70\;\;\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy lúc đầu Hòa có \(70\) quyển sách và Bình có \(100 - 70 = 30\) quyển sách.

Câu 2:

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {3;\;7} \right)\) và song song với đường thẳng có phương trình \(y = 3x + 1.\)

a) Viết phương trình đường thẳng \(\left( d \right).\)

Giả sử phương trình của đường thẳng \(\left( d \right):\;y = ax + b.\)

Đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(y = 3x + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b \ne 1\end{array} \right..\)

Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {3;\;7} \right) \Rightarrow 7 = 3.3 + b \Leftrightarrow b = - 2.\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\left( d \right):\;\;y = 3x - 2.\)

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và parabol \(\left( P \right):\;\;y = {x^2}.\)

Hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là nghiệm của p hương trình: \({x^2} = 3x - 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \Rightarrow y = {2^2} = 4\\x = 1 \Rightarrow y = {1^2} = 1\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {2;\;4} \right)\) và \(B\left( {1;\;1} \right).\)

Câu 3:

Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định nằm ngoài (O; R). Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới (O; R) (A, B là các tiếp điểm). Đường thẳng (d) bất kỳ qua M và cắt (O; R) tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa M và D). Gọi N là giao điểm của AB và CD.

a) Chứng minh rằng tứ giác OAMB nội tiếp.

Vì \(MA,\;\;MB\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right) \Rightarrow \widehat {MAO} = \widehat {MBO} = {90^0}.\)

Xét tứ giác \(\widehat {MAO} + \widehat {OBM} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) \( \Rightarrow MAOB\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Chứng minh rằng \(\Delta ANC\) và \(\Delta DNB\) đồng dạng, \(\Delta AMC\) và \(\Delta DMA\) đồng dạng.

Xét \(\Delta ANC\) và \(\Delta DNB\) ta có:

\(\widehat {CAN} = \widehat {NDB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CB\))

\(\widehat {ANC} = \widehat {DNB}\) (hai góc đối đỉnh).

\( \Rightarrow \Delta ANC \sim \Delta DNB\;\left( {g - g} \right)\;\;\;\;\left( {dpcm} \right).\)

Xét \(\Delta AMC\) và \(\Delta DMA\) ta có:

\(\widehat {AMD}\;\;chung\)

\(\widehat {MAC} = \widehat {MDA}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(AC\)).

\( \Rightarrow \Delta MAC \sim \Delta MDA\;\;\left( {g - g} \right)\;\;\;\left( {dpcm} \right).\)

c) Chứng minh rằng: \(\dfrac{{MC}}{{MD}} = \dfrac{{NC}}{{ND}}.\)

Ta có: \(\Delta MAC \sim \Delta MDA\;\;\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MC}}{{MA}} \Leftrightarrow M{A^2} = MC.MD.\)

Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(MO \Rightarrow AB \bot MO = \left\{ H \right\}.\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét tam giác \(MAO\) vuông tại \(A\) và có đường cao \(AH\) có:

\(M{A^2} = MH.MO.\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow MC.MD = MH.MO\;\left( { = M{A^2}} \right).\\ \Rightarrow \dfrac{{MC}}{{MO}} = \dfrac{{MH}}{{MO}}.\end{array}\)

Xét \(\Delta MCH\) và \(\Delta MOD\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{MC}}{{MH}} = \dfrac{{MO}}{{MD}}\;\;\left( {cmt} \right)\\\widehat {OMD}\;\;chung\\ \Rightarrow \Delta MCH \sim \Delta MOD\;\;\left( {g - g} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow \widehat {MHC} = \widehat {MDO}\) (hai góc tương ứng).

Xét tứ giác \(CHOD\) ta có: \(\widehat {MHC} = \widehat {CDO}\;\;\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow CHOD\) là tứ giác nội tiếp. (góc ngoại tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

\( \Rightarrow \widehat {DHO} = \widehat {DCO}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DO\))

Lại có: \(\widehat {ODC} = \widehat {OCD}\) \((\Delta COD\) cân tại \(O)\)

\( \Rightarrow \widehat {DHO} = \widehat {CHM}\left( { = \widehat {CDO}} \right).\)

Mà \(HM \bot HN\;\;\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {NHC} = \widehat {NHD}\;\left( { = {{90}^0} - \widehat {CHM}} \right)\)

\( \Rightarrow NH\) là tia phân giác trong của \(\widehat {CHD}\) và \(HM\) là tia phân giác ngoài của \(\widehat {CHD}.\)

\( \Rightarrow \dfrac{{MC}}{{MD}} = \dfrac{{NC}}{{ND}}\left( { = \dfrac{{HC}}{{HD}}} \right).\;\;\left( {dpcm} \right)\)

d) Xác định vị trí của đường thẳng \(\left( d \right)\) để \(\dfrac{1}{{MD}} + \dfrac{1}{{ND}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Xét: \(DC\left( {\dfrac{1}{{MD}} + \dfrac{1}{{ND}}} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{CD}}{{MD}} + \dfrac{{CD}}{{ND}} = \dfrac{{MD - CM}}{{MD}} + \dfrac{{CN + ND}}{{ND}}\\ = 1 - \dfrac{{CM}}{{MD}} + 1 + \dfrac{{CN}}{{ND}} = 2 + \dfrac{{CN}}{{DN}} - \dfrac{{MC}}{{MD}} = 2.\\\left( {do\;\;\dfrac{{MC}}{{MD}} = \dfrac{{NC}}{{ND}}} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{MD}} + \dfrac{1}{{ND}} = \dfrac{2}{{CD}}.\end{array}\)

Vì \(CD\) là dây cung \( \Rightarrow CD \le 2R \Rightarrow \dfrac{2}{{CD}} \ge \dfrac{2}{{2R}} \Leftrightarrow \dfrac{2}{{CD}} \ge \dfrac{1}{R}.\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{MD}} + \dfrac{1}{{ND}} \ge \dfrac{1}{R}.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow CD = 2R\) hay đường thẳng \(d\) đi qua \(O.\)

Vậy để \(\dfrac{1}{{MD}} + \dfrac{1}{{ND}}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì đường thẳng \(d\) đi qua \(O.\)

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Đề số 33 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề số 36 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề số 35 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề số 38 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024