16. Đề số 16 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Bài 1. (1,5 điểm)

a) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức $$

b) Cho $$ Chứng minh $$ .

Bài 2. (2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình: $$   

b) Giải phương trình $$

Bài 3. (1,5 điểm)

Vẽ đồ thị của các hàm số $$  và $$  trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Gọi A và B là các giao điểm của đồ thị hai hàm số trên. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB, với O là gốc tọa độ (đơn vị đo trên các tọa độ là centimet).

Bài 4 (1 điểm):

Cho  phương trình $$ với $$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của $$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $$ thỏa mãn hệ thức $$

Bài 5 (1 điểm):

Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 17 cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 7 cm. Tính diện tích của tam giác vuông đó.

Bài 6 (3 điểm):

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O có AB < AC. Trên cung nhỏ AC lấy điểm M khác A thỏa mãn MA < MC. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O) và gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB, MN. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm A, H, K, M cùng nằm trên một đường tròn.

b) AH.AK = HB.MK.

c) Khi điểm M di động trên cung nhỏ AC thì đường thẳng HK luôn qua một điểm cố định.

Lời giải chi tiết

Bài 1.

a) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức $$

b) Cho $$ Chứng minh $$ .

Với: $$

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.

Bài 2.

a) Giải hệ phương trình: $$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $$.

b) Giải phương trình $$ (1)

Điều kiện: $$

Ta có: $$

Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt là: $$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: $$

Bài 3.

+) Vẽ đồ thị hàm số: $$

Khi đó đồ thị hàm số $$ có hình dạng là 1 Parabol và đi qua các điểm $$

+) Vẽ đồ thị hàm số: $$

Khi đó đồ thị hàm số $$ là một đường thẳng và đi qua các điểm $$

+) Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số $$ và $$ là:

Xét tam giác OAE ta có: $$ nên tam giác OAE vuông tại A.

Khi đó ta có: $$ nên tam giác OAB vuông tại A.

Ta có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB  là trung điểm của cạnh huyền OB và bán kính của đường tròn $$

Ta có: Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông OBC có: $$ $$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là $$

Bài 4:

Cho  phương trình $$ với $$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của $$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $$ thỏa mãn hệ thức $$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $$

Vì $$

Hay phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt $$  với mọi $$

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $$

Vì $$ là nghiệm của phương trình $$ nên ta có:

Vậy $$ hoặc $$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 5:

Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 17 cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 7 cm. Tính diện tích của tam giác vuông đó.

Gọi độ dài một cạnh góc vuông lớn hơn của tam giác vuông là $$

Khi đó độ cạnh góc vuông còn lại của tam giác vuông đó là: $$

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông này ta có phương trình:

$$ độ dài cạnh còn lại của tam giác vuông là: $$

Vậy diện tích của tam giác vuông đó là: $$

Bài 6:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O có AB < AC. Trên cung nhỏ AC lấy điểm M khác A thỏa mãn MA < MC. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O) và gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB, MN. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm A, H, K, M cùng nằm trên một đường tròn.

Xét tứ giác $$ ta có: $$

Mà hai góc này là góc kề cạnh $$ và cùng nhìn đoạn $$

$$ là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).

Hay bốn điểm $$ cùng nằm trên một đường tròn (đpcm).

b) AH.AK = HB.MK.

Ta có :

Mà

Mà $$ (tam giác ABH vuông tại H).

$$.

Xét tam giác AMK và tam giác BAH có :

c) Khi điểm M di động trên cung nhỏ AC thì đường thẳng HK luôn qua một điểm cố định.

Kéo dài HK cắt AB tại E.

Ta có $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK).

Lại có $$ (đối đỉnh)

Do $$

$$ $$ cân tại E.

$$.

Ta có $$ (Tam giác ABH vuông tại H)

$$ cân tại E $$.

Từ (1) và (2) $$ là trung điểm của AB. Do A, B cố định $$ cố định.

Vậy khi M di chuyển trên cung nhỏ AC thì HK luôn đi qua trung điểm của AB (đpcm).