6. Đề số 6 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Câu 1. (2.5 điểm)

a)  Rút gọn các biểu thức

$$  với $$  và $$

b)  Giải hệ phương trình $$

Câu 2. (2 điểm)

Cho phương trình $$ (m là tham số )

a)  Giải phương trình (*) khi $$

b)  Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm $$ thỏa mãn $$

Câu 3. (2 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ $$ cho parabol $$ và đường thẳng $$

a) Vẽ đồ thị của (P).

b) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm $$

c) Đường thẳng $$ cắt parabol $$ tại hai điểm $$ Tìm tọa độ của $$ và tính diện tích tam giác $$

Câu 4. (3,5 điểm)

Cho đường tròn tâm $$ có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn $$ sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn $$ tại điểm K (K khác A), hai dây MN và BK cắt nhau ở E.

a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh CA.CK = CE.CH

c) Qua điểm N kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt MK tại F. Chứng minh tam giác NFK cân.

d) Khi KE = KC. Chứng minh OK // MN.

Lời giải chi tiết

Câu 1.

a) Rút gọn các biểu thức

$$ với $$  và $$

b) Giải hệ phương trình $$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $$

Câu 2.

Cho phương trình $$ (m là tham số )

a) Giải phương trình (*) khi $$

Thay $$ vào phương trình (*) ta có: $$

Ta có: $$

Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $$

Vậy khi $$ thì phương trình (*)  có tập nghiệm là: $$

b) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm $$ thỏa mãn $$

+) Phương trình (*) có hai nghiệm $$ khi và chỉ khi $$

+) Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (*) ta có: $$

Kết hợp (1) và (3) ta được hệ phương trình:

Thay $$ vào (2) ta được: $$

Vậy $$  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 3:

Trong mặt phẳng tọa độ $$ cho parabol $$ và đường thẳng $$

a) Vẽ đồ thị của (P).

Ta có bảng giá trị:

Đồ thị:

b) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm $$

Đường thẳng $$ đi qua điểm $$

Vậy $$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

c) Đường thẳng $$ cắt parabol $$ tại hai điểm $$ Tìm tọa độ của $$ và tính diện tích tam giác $$

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $$ và parabol $$ là:

Đường thẳng $$ cắt $$ tại hai điểm phân biệt $$ và $$

Gọi $$ là giao điểm của đường thẳng $$ và trục $$

Khi đó ta có: $$

Ta có: $$

Vậy diện tích tam giác $$ là $$

Câu 4.

a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.

Ta có $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $$.

Xét tứ giác AHEK có $$ tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).

b) Chứng minh CA.CK = CE.CH

Xét tam giác CKE và tam giác CHA có:

$$ chung;

$$ (đpcm).

c) Qua điểm N kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt MK tại F. Chứng minh tam giác NFK cân.

Ta có $$

$$. (từ vuông góc đến song song).

Xét tam giác OMN có 

$$ cân tại O.

$$ Đường cao OH đồng thời là đường phân giác $$ sđ cung MB = sđ cung NB.

$$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Ta có $$ (đồng vị);

$$ (so le trong);

Mà $$

$$ cân tại K.

d) Khi KE = KC. Chứng minh OK // MN.

Ta có $$ vuông tại K.

Lại có KE = KC (gt) $$ vuông cân tại K $$ ;

$$ (đối đỉnh) $$ vuông cân tại H $$

Tam giác OBK có $$ cân tại O $$

$$ vuông cân tại $$ ;

Lại có $$.

Vậy MN // OK.