Đề số 10 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 8

Bài 4 (3,0 điểm)Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Gọi \(M,\,N\) theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ\(H\) đến \(AB,\,AC\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AH\)  và \(MN\),\(K\)là trung điểm của \(CH\)

a)Chứng minh rằng tứ giác \(AMHN\) là hình chữ nhật.

b)Tính số đo \(\angle MNK\)

c)Chứng minh rằng \(BO \bot AK\)

Bài 5 (1,0 điểm)Chứng minh: \({a^4} + {b^4} + {c^4} = 2{\left( {ab + bc + ac} \right)^2}\). Biết rằng \(a + b + c = 0\)

Lời giải chi tiết:

I. Trắc nghiệm

Lời giải chi tiết:

\(a)\,\,2x - 4{x^2} = 2x\left( {1 - 2x} \right)\)

\(b)\,\,3x\left( {x - 2} \right) - 4x + 8\)

\(= 3x\left( {x - 2} \right) - 4\left( {x - 2} \right) \)

\(= \left( {x - 2} \right)\left( {3x - 4} \right).\)

\(c)\,\,{x^2} - 2xy + {y^2} - 9{{\rm{z}}^2} \)

\(= {\left( {x - y} \right)^2} - {\left( {3{\rm{z}}} \right)^2} \)

\(= \left( {x - y - 3{\rm{z}}} \right)\left( {x - y + 3{\rm{z}}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\( \Rightarrow \left( {2{x^3} - 3{x^2} + x + m} \right) \vdots \left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow m - 30 = 0 \Leftrightarrow m = 30\)

Vậy \(m = 30.\)

\(b)\,P = x - {x^2} - 1 =  - \left( {{x^2} - x + 1} \right) \\\;\;\;=  - \left( {{x^2} - 2.\dfrac{1}{2}.x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} \right) \\\;\;\;=  - {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{3}{4}\)

Vì \( - {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le 0\,\forall \,x \Rightarrow  - {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{3}{4} < 0\,\forall \,x\)

Vậy \(P < 0\) với mọi \(x.\)

Lời giải chi tiết:

\(a)\,A = \dfrac{{45x\left( {2 - x} \right)}}{{15x{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{3\left( {2 - x} \right)}}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}} = \dfrac{3}{{2 - x}}.\)

\(\begin{array}{l}b)\,\,B = \dfrac{{{x^3} + 2{x^2}y - x{y^2} - 2{y^3}}}{{{x^2} + 3xy + 2{y^2}}} \\= \dfrac{{\left( {{x^3} + 2{x^2}y} \right) - \left( {x{y^2} + 2{y^3}} \right)}}{{{x^2} + xy + 2xy + 2{y^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2}\left( {x + 2y} \right) - {y^2}\left( {x + 2y} \right)}}{{x\left( {x + y} \right) + 2y\left( {x + y} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {x + 2y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right)}} = x - y.\end{array}\)

Phương pháp giải:

a)Vì \(M,\,N\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB,\,AC\) (gt) nên \( \Rightarrow \angle HNA = \angle HMA = {90^0}\)

Lại có \(\angle MAN = {90^0}\left( {gt} \right) \Rightarrow AMHN\) là hình chữ nhật (dhnb)

b)Xét \({\Delta _v}HNC\) có K là trung điểm của \(HC\left( {gt} \right) \Rightarrow NK\) là đường trung tuyến.

Áp dụng tính chất trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy:

\( \Rightarrow NK = HK = \dfrac{{HC}}{2} \Rightarrow \Delta HKN\) cân tại K (định nghĩa)

\( \Rightarrow \angle KHN = \angle KNH\) (tính chất)

Vì \(AMHN\) là hình chữ nhật (cmt) \( \Rightarrow \angle MNH = \angle AHN\)

Lại có: \(\angle AHN + \angle NHC = {90^0} \)

\(\Rightarrow \angle MNH + \angle HNK = {90^0}\)

\(\Rightarrow \angle MNK = {90^0}\)

c)Xét \(\Delta AHC\) có \(O,\;K\) lần lượt là trung điểm của \(AH,\;\;HC \Rightarrow OK\) là đường trung bình của \(\Delta AHC.\)

\( \Rightarrow OK//AC.\)(tính chất đường trung bình)

Mà \(AC \bot AB = \left\{ A \right\}\;\;\left( {gt} \right) \Rightarrow OK \bot AB.\)

Xét \(\Delta ABK\) có \(AH,\;KO\) là các đường cao cắt nhau tại \(O \Rightarrow O\) là trực tâm của \(\Delta ABK.\)

\( \Rightarrow BO\) là đường cao của \(\Delta ABK \Rightarrow BO \bot AK.\) (đpcm)

Lời giải chi tiết:

Bài 5.

Ta có:\(a + b + c = 0 \Leftrightarrow a =  - b - c.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} = {\left( {b + c} \right)^2} \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\\ \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} - {c^2} = 2bc.\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - {b^2} - {c^2}} \right) = 4{b^2}{c^2}\\ \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} - 2{a^2}{b^2} + 2{b^2}{c^2} - 2{a^2}{c^2} = 4{b^2}{c^2}\\ \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} = 2{a^2}{b^2} + 2{b^2}{c^2} + 2{a^2}{c^2}\\ \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} = 2\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} \right).\end{array}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} = {\left( {ab} \right)^2} + {\left( {bc} \right)^2} + {\left( {ca} \right)^2} + 2{a^2}bc + 2a{b^2}c + 2ab{c^2}\\ \Leftrightarrow \;{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} = {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + 2abc\left( {a + b + c} \right)\\ \Leftrightarrow \;{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} = {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}.\\ \Rightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} = 2{\left( {ab + bc + ca} \right)^2}.\;\;\;\left( {dpcm} \right)\end{array}\)