Bài 4 (3,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\,AB = 6\,cm,\,AC = 8\,cm\). Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(BC\). Điểm \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(M\).

Chứng minh tứ giác \(AB{\rm{D}}C\) là hình chữ nhật. Tính diện tích hình chữ nhật \(AB{\rm{D}}C\).
Kẻ \(AH \bot BC\left( {H \in BC} \right)\), gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(H\). Chứng minh: \(HM//DE\) và \(HM = \dfrac{1}{2}DE\).
Tính tỉ số \(\dfrac{{{S_{AHM}}}}{{{S_{A{\rm{ED}}}}}}\).
Chứng minh tứ giác \(BC{\rm{D}}E\) là hình thang cân.

LG bài 1

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}1)\,\,2xy\left( {x + y} \right) = 2{x^2}y + 2x{y^2}\\2)\,\left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = 2{x^2} - x + 2x - 1 = 2{x^2} + x - 1\\3)\,\,10{{\rm{x}}^4}{y^3}:6{{\rm{x}}^2}{y^2} = \dfrac{{10}}{6}.{x^{4 - 2}}.{y^{3 - 2}} = \dfrac{5}{3}{x^2}y\\4)\;\;\left( {{x^3} - 8} \right):\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) \\= \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right):\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) \\= x - 2.\end{array}\)

LG bài 2

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}1)\,\,2x{y^2} - 4y = 2y\left( {xy - 2} \right)\\2)\,\,{x^2}y - 6xy + 9y = y\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) = y{\left( {x - 3} \right)^2}\\3)\,\,{x^2} + x - {y^2} + y = \left( {{x^2} - {y^2}} \right) + \left( {x + y} \right)\\ = \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) + \left( {x + y} \right)\\ = \left( {x + y} \right)\left( {x - y + 1} \right)\\4)\,\,{x^2} + 4{\rm{x}} + 3 = {x^2} + 4{\rm{x}} + 4 - 1 \\= {\left( {x + 2} \right)^2} - 1\\ = \left( {x + 2 + 1} \right)\left( {x + 2 - 1} \right)\\ = \left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\end{array}\)

LG bài 3

Lời giải chi tiết:

\(P = \dfrac{{2{x^2} - 1}}{{{x^2} + x}} - \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{3}{{x + 1}}\)

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne - 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}1)\,\,P = \dfrac{{2{x^2} - 1}}{{{x^2} + x}} - \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{3}{{x + 1}} \\= \dfrac{{2{x^2} - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{3}{{x + 1}}\\ = \dfrac{{2{x^2} - 1 - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 3x}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{2{x^2} - 1 - {x^2} + 1 + 3{\rm{x}}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{{x^2} + 3x}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{x + 3}}{{x + 1}}.\end{array}\)

\(2)\,\,P = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x + 3}}{{x + 1}} = 0 \)

\(\Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\left( {tm} \right)\)

Vậy với \(x = - 3\) thì \(P = 0.\)

\(3)\,\,{x^2} - x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;\;\left( {ktm} \right)\\x = 1\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Thay \(x = 1\) vào biểu thức \(P\) ta được: \(\dfrac{{x + 3}}{{x + 1}} = \dfrac{{1 + 3}}{{1 + 1}} = 2\).

4) Ta có: \(Q = \dfrac{1}{{{x^2} - 9}}.P = \dfrac{1}{{{x^2} - 9}}.\dfrac{{x + 3}}{{x + 1}} \)

\(= \dfrac{{x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)}} \)

\(= \dfrac{1}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{{x^2} - 2x - 3}}\)

\( \Rightarrow Q\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: \({x^2} - 2x - 3 = {x^2} - 2x + 1 - 4 = {\left( {x - 1} \right)^2} - 4\).

Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x\)

\(\Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} - 4 \ge - 4\,\,\forall x \)

\(\Rightarrow \dfrac{1}{{{x^2} - 2x - 3}} \le - \dfrac{1}{4}\)

\( \Rightarrow Q\;\;\max = - \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\;\;\left( {tm} \right).\)

Vậy \(Max\;Q = - \dfrac{1}{4}\;\;khi\;\;x = 1.\)

LG bài 4

Lời giải chi tiết:

1.Xét tứ giác \(AB{\rm{D}}C\) có \(A{\rm{D}}\) và \(BC\) cắt nhau tại trung điểm \(M\) của mỗi đường (gt)

\( \Rightarrow AB{\rm{D}}C\) là hình bình hành (dhnb)

Lại có \(\angle BAC = {90^0}\left( {gt} \right) \Rightarrow \) hình bình hành \(AB{\rm{D}}C\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Ta có: \({S_{AB{\rm{D}}C}} = AB.AC = 6.8 = 48\,c{m^2}\)

2.Xét \(\Delta A{\rm{D}}E\) có \(H,\,M\)là trung điểm của \(A{\rm{E}}\) và \(A{\rm{D}}\) (gt)

\( \Rightarrow HM\) là đường trung bình của \(\Delta A{\rm{D}}E\) (dhnb)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HM = \dfrac{1}{2}DE\\HM//DE\end{array} \right.\) (tính chất)

3.Xét \(\Delta A{\rm{D}}E\) có: \(MH//DE\left( {cmt} \right) \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{A{\rm{D}}}} = \dfrac{{AH}}{{A{\rm{E}}}} = \dfrac{{MH}}{{DE}}\) (định lý Ta-lét)

\(\Delta AHM \sim \Delta A{\rm{ED}}\left( {c - c - c} \right) \)

\(\Rightarrow \dfrac{{{S_{AHM}}}}{{{S_{A{\rm{ED}}}}}} = {\left( {\dfrac{{HM}}{{DE}}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\;\;\;\left( {dpcm} \right).\)

4.Ta có: \(MH//DE\left( {cmt} \right) \Rightarrow BC//DE \Rightarrow BC{\rm{D}}E\) là hình thang (dhnb)

Xét \(\Delta ABE\) có: \(BH\) vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên \(\Delta ABE\)là tam giác cân tại B (dhnb)

\( \Rightarrow BH\) là phân giác của \(\angle ABE\) (tính chất)

\( \Rightarrow \angle ABC = \angle CBE\) (tính chất tia phân giác)

Mà \(\angle ABC = \angle BC{\rm{D}}\) (so le trong)

\( \Rightarrow \angle CBE = \angle BC{\rm{D}}\)\( \Rightarrow \) hình thang \(BC{\rm{D}}E\) là hình thang cân (dhnb).

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

17. Đề số 17 - Đề kiểm tra học kì 1 Toán 8

18. Đề số 18 - Đề kiểm tra học kì 1 Toán 8

19. Đề số 19 - Đề kiểm tra học kì 1 Toán 8

20. Đề số 20 - Đề kiểm tra học kì 1 Toán 8

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024